均值不等式

对于 $a,b>0$
$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}\leq \frac{a-b}{\ln a-\ln b}\leq \frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $$

琴生不等式

1.凸函数和凹函数

凸函数（下凸函数，convex 函数）的定义是，在 $(a,b)$ 区间内：
$$\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\geq f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)$$
即其函数值的平均大于等于平均值的函数。
在图像上表示为：
其充要条件为：若 $f(x)$ 可导，则 $f’’(x)\geq 0$ 在 $(a,b)$ 内恒成立。
一些性质：

  • $f(x)\leq max{f(a),f(b)}$
  • 若 $a<m \leq p \leq q \leq n<b$，则 $f(m)+f(n) \geq f(p)+f(q)$
    凹函数（上凸函数，concave 函数），与凸函数相反

2.琴生不等式

对于在 $(a,b)$ 上的凸函数，$\forall x_1,x_2\dots x_n\in(a,b)$，有：
[
\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^n f(x_i)\geq
f(\frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_i)
]