奔驰定理

$$S_{\triangle PBC}\cdot\vec{PA}+S_{\triangle PAC}\cdot\vec{PB}+S_{\triangle PAB}\cdot\vec{PC}=\vec{0}$$

推论

重心( $G$ )

  • $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$
  • $\vec{OG}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$ （用于求坐标，$O$ 为任意点）

内心( $I$ )

  • $a\cdot\vec{IA}+b\cdot\vec{IB}+c\cdot\vec{IC}=\vec{0}$
  • $\vec{OI}=\frac{1}{a+b+c}(a\cdot\vec{OA}+b\cdot\vec{OB}+c\cdot\vec{OC})$ （用于求坐标，$O$ 为任意点）

椭圆

第一定义及标准方程

定点 $F_1, F_2$，动点 $P$，满足 $F_1F_2=2c, PF_1+PF_2=2a \ \ (a>c)$，则 $P$ 的轨迹是椭圆。
标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

第二定义及极坐标方程

到焦点 $F$ 与准线 $l\ (F\notin l)$ 的距离值比为定值 $e\ (0<e<1)$
对比标准方程，$l:x=\pm\frac{a^2}{c}$，$e$ 即为离心率 $e=\frac{c}{a}$
以 $F$ 为极点，过 $F$ 且与 $l$ 垂直的直线为极轴，记 $d(F,l)=p,\angle PFx=\theta$，则 $PF=\frac{ep}{1-e\cos \theta}$